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背景

给定一个字符串,求出其最长回文子串。

例如:

1、s=”abcd”,最长回文长度为 1;

2、s=”ababa”,最长回文长度为 5;

3、s=”abccb”,最长回文长度为 4,即 bccb。

以上问题的传统思路大概是,遍历每一个字符,以该字符为中心向两边查找。其时间复杂度为 O(n2),效率很差。

1975 年,一个叫 Manacher 的人发明了一个算法,Manacher 算法(中文名:马拉车算法),该算法可以把时间复杂度提升到 O(n)。下面来看看马拉车算法是如何工作的。

算法过程分析

由于回文分为偶回文(比如 bccb)和奇回文(比如 bcacb),而在处理奇偶问题上会比较繁琐,所以这里我们使用一个技巧,具体做法是:在字符串首尾,及各字符间各插入一个字符(前提这个字符未出现在串里)。

举个例子:s=”abbahopxpo”,转换为s_new=”$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#”(这里的字符 $ 只是为了防止越界,下面代码会有说明),如此,s 里起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo,被转换为#a#b#b#a#和#o#p#x#p#o#,长度都转换成了奇数。

定义一个辅助数组int p[],其中p[i]表示以 i 为中心的最长回文的半径,例如:

可以看出,p[i] – 1正好是原字符串中最长回文串的长度。

接下来的重点就是求解 p 数组,如下图:

设置两个变量,mx 和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界,也就是mx = id + p[id]。

假设我们现在求p[i],也就是以 i 为中心的最长回文半径,如果i < mx,如上图,那么:

if (i < mx)

p[i] = min(p[2 * id – i], mx – i);

2 * id – i为 i 关于 id 的对称点,即上图的 j 点,而p[j]表示以 j 为中心的最长回文半径,因此我们可以利用p[j]来加快查找。

代码

/**

*

* author : 刘毅(Limer)

* date   : 2017-02-25

* mode   : C++

*/

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <algorithm>

using namespace std;

char s[1000];

char s_new[2000];

int p[2000];

int Init()

{

int len = strlen(s);

s_new[0] = ‘$’;

s_new[1] = ‘#’;

int j = 2;

for (int i = 0; i < len; i++)

{

s_new[j++] = s[i];

s_new[j++] = ‘#’;

}

s_new[j] = ‘\0′;  // 别忘了哦

 

return j;  // 返回 s_new 的长度

}

int Manacher()

{

int len = Init();  // 取得新字符串长度并完成向 s_new 的转换

int max_len = -1;  // 最长回文长度

int id;

int mx = 0;

for (int i = 1; i < len; i++)

{

if (i < mx)

p[i] = min(p[2 * id – i], mx – i);  // 需搞清楚上面那张图含义, mx 和 2*id-i 的含义

else

p[i] = 1;

while (s_new[i – p[i]] == s_new[i + p[i]])  // 不需边界判断,因为左有’$’,右有’\0′

p[i]++;

// 我们每走一步 i,都要和 mx 比较,我们希望 mx 尽可能的远,这样才能更有机会执行 if (i < mx)这句代码,从而提高效率

if (mx < i + p[i])

{

id = i;

mx = i + p[i];

}

max_len = max(max_len, p[i] – 1);

}

return max_len;

}

int main()

{

while (printf(“请输入字符串:\n”))

{

scanf(“%s”, s);

printf(“最长回文长度为 %d\n\n”, Manacher());

}

return 0;

}

算法复杂度分析

文章开头已经提及,Manacher 算法为线性算法,即使最差情况下其时间复杂度亦为 O(n),在进行证明之前,我们还需要更加深入地理解上述算法过程。

根据回文的性质,p[i] 的值基于以下三种情况得出:

(1)j 的回文串有一部分在 id 的之外,如下图:

上图中,黑线为 id 的回文,i 与 j 关于 id 对称,红线为 j 的回文。那么根据代码此时p[i] = mx – i,即紫线。那么p[i]还可以更大么?答案是不可能!见下图:

假设右侧新增的紫色部分是p[i]可以增加的部分,那么根据回文的性质,a 等于 d ,也就是说 id 的回文不仅仅是黑线,而是黑线 + 两条紫线,矛盾,所以假设不成立,故p[i] = mx – i,不可以再增加一分。

(2)j 回文串全部在 id 的内部,如下图:

根据代码,此时p[i] = p[j],那么p[i]还可以更大么?答案亦是不可能!见下图:

假设右侧新增的红色部分是p[i]可以增加的部分,那么根据回文的性质,a 等于 b ,也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ,矛盾,所以假设不成立,故p[i] = p[j],也不可以再增加一分。

(3)j 回文串左端正好与 id 的回文串左端重合,见下图:

根据代码,此时p[i] = p[j]或p[i] = mx – i,并且p[i]还可以继续增加,所以需要

while (s_new[i – p[i]] == s_new[i + p[i]])

p[i]++;

根据(1)(2)(3),很容易推出 Manacher 算法的最坏情况,即为字符串内全是相同字符的时候。在这里我们重点研究 Manacher()中的 for 语句,推算发现 for 语句内平均访问每个字符 5 次,即时间复杂度为:Tworst(n)=O(n)。

同理,我们也很容易知道最佳情况下的时间复杂度,即字符串内字符各不相同的时候。推算得平均访问每个字符 4 次,即时间复杂度为:Tbest(n)=O(n)。

综上,Manacher 算法的时间复杂度为 O(n)。

一个有大大梦想但是没有支撑这梦想的技术的攻城狮,大家就当这个博客是你的技术工具箱吧,我会吧我工作中遇到的问题贴在这,大家需要的记得把我放到收藏夹哦! 百度输入“子傲代码”就可以了

—— 陈子傲

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